Question

【题目】已知抛物线与轴交于、两点(点在点的左侧)，与轴交于点，顶点为．

（1）请求出、两点的坐标；

（2）将抛物线绕平面内的某一点旋转180°，旋转后得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴相交于、两点(点在点的右侧)，使得抛物线过点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有满足条件的抛物线的顶点坐标．

Answer 1

【答案】（1）、；（2）、

【解析】

（1）将x＝0代入即可求得点C坐标，将函数关系式配成顶点式即可求得点M的坐标；

（2）先根据中心对称可得点在抛物线的图像上，当点抛物线对称轴的右侧时，过点M作MG⊥y轴于点G，过点作M'G⊥x轴于点H，根据平行四边形的性质可得CM∥M'F，CM＝M'F，进而可证得△CGM≌△M'HF，从而可得点M'的纵坐标，代入抛物线即可求得点M'的坐标，当点抛物线对称轴的左侧时，同理可得．

解：（1）当x＝0时，y＝5，则点C坐标为（0,5），

∵，

∴顶点M的坐标为（3，－4），

（2）∵抛物线绕平面内的某一点旋转180°，旋转后得到抛物线，

∴与关于该点成中心对称

∵经过的顶点，

∴经过的顶点，

如图，当点抛物线对称轴的右侧时，

过点M作MG⊥y轴于点G，过点作M'G⊥x轴于点H，

当四边形为平行四边形时，则CM∥M'F，CM＝M'F，

∴△CGM≌△M'HF，

∵点C坐标为（0,5），点M的坐标为（3，－4），

∴M'H＝CG＝5－（－4）＝9，

∴点M'的纵坐标为9，

将y＝9代入得

，

解得

∴此时点M'的坐标为，

如图，当点抛物线对称轴的左侧时，

同理可得，此时点M'的坐标为，

综上所述，此时点M'的坐标为或