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5.已知:方程4x2+4$\sqrt{a}$x+2b-c=0有两个相等的实数根,a、b、c为△ABC的三边且满足3a-2c=b.
(1)求证:△ABC是等边三角形.
(2)若a、b为方程x2-2kx-(2k-3)=0二根,求k的值.

分析 (1)根据方程有两个相等的实数根得出△=(4$\sqrt{a}$)2-4×4×(2b-c)=0,即a=2b-c,代入3a-2c=b可得b=c,代入回a=2b-c得a=b;
(2)根据题意知方程x2-2kx-(2k-3)=0有两个相等的实数根,据此得△=(-2k)2-4×1×[-(2k-3)]=0,即k2+2k-3=0,解之可得k=-3或k=1,代回方程求得x的值,判断是否符合题意即可.

解答 解:(1)∵方程4x2+4$\sqrt{a}$x+2b-c=0有两个相等的实数根,
∴△=(4$\sqrt{a}$)2-4×4×(2b-c)=0,即a=2b-c,
∵3a-2c=b.
∴3(2b-c)-2c=b,即b=c,
将b=c代入a=2b-c得:a=b,
∴a=b=c,
∴△ABC是等边三角形;

(2)∵a、b为方程x2-2kx-(2k-3)=0二根,且a=b,
∴△=(-2k)2-4×1×[-(2k-3)]=0,即k2+2k-3=0,
解得:k=1或k=-3,
当k=-3时,方程为x2+6x+9=0,解得:x1=x2=-3<0(舍);
当k=1时,方程为x2-2x+1=0,解得:x1=x2=1,(符合题意);
故k=1.

点评 本题主要考查根的判别式和解一元二次方程的能力、等边三角形的判定,根据方程的根的情况得出判别式的值的情况,从而得到关于a、b、c及k的等式是解题的关键.

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