Question

【题目】如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），对称轴为直线 x＝1，与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论正确的是_______________．

①当 x＞3 时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a≤﹣；④4ac﹣b2＜8a．

Answer 1

【答案】①②③④．

【解析】

①根据抛物线的对称性求出与x轴的另外一个交点，观察图形即可判断其正确性

②把抛物线的对称轴用含有a、b的代数式表示出来，其开口方向又向下，即可判断其正确

③根据抛物线的解析式求出与y轴的交点用含有a的代数式表示出来，又已知在2和3之间即可求得a的取值范围

④有抛物线的解析式求出与y轴的交点用含有c的代数式表示出来，又已知在2和3之间即可求证

解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴另一个交点的坐标为（3，0），当 x＞3 时，y＜0，故①正确；

②抛物线开口向下，故 a＜0，

∵x＝﹣，

∴2a+b＝0．

∴3a+b＝0+a＝a＜0，故②正确；

③设抛物线的解析式为 y＝a（x+1）（x﹣3），则 y＝ax2﹣2ax﹣3a，令 x＝0 得：y＝﹣3a．

∵抛物线与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间，

∴2≤﹣3a≤3．

解得：﹣1≤a≤- ，故③正确；

④．∵抛物线 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间，

∴2≤c≤3，

由 4ac﹣b2＞8a 得：4ac﹣8a＞b2，

∵a＜0，

∴c﹣2＜ ，

∴c﹣2＜0，

∴c＜2，与 2≤c≤3 矛盾，故 4ac﹣b2＜8a，④正确．

故答案为：①②③④．