Question

如图，△ABC是一块直角三角形的木块，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一块面积最大的正方形木块，问按正方形CDEF加工还是按正方形PQRS加工？说出你的理由．

Answer 1

分析：当正方形两边在直角三角形上时，易得△AED∽△ABC，利用对应边成比例可得正方形的边长；
当正方形的一边在直角三角形上时，易得△CSR∽△CAB，利用对应边的比等于对应高的比可得正方形的边长，比较即可．

解答：解：

（1）∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
设正方形CDEF的边长为x，则有

x

4

=

3-x

3

，
解得x=

12

7

cm；

（2）∵SR∥AB，
∴△CSR∽△CAB，
设正方形PQRS的边长为y，作CN⊥NB于N交RS于M，∵

1

2

BC•AC=

1

2

AB•CN，∴CN=

12

5

，
∴

SR

AB

=

CM

CN

∴

12 5 -y

12 5

=

y

5

，
解得y=

60

37

（cm），
x-y=

12

7

-

60

37

=

444-420

7×37

＞0，故x＞y，
所以按正方形CDEF加工，可得面积最大的正方形．

点评：考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比．