Question

17．在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，连接OD．当∠DOA=∠OBA时，直线CD的解析式为y=-$\frac{7}{24}$x+4．

Answer 1

分析 由旋转的性质得到三角形BOA与三角形CDA全等，再由已知角相等，以及公共角，得到三角形AOM与三角形AOB相似，确定出OD与AB垂直，再由OA=DA，利用三线合一得到AB为角平分线，M为OD中点，利用SAS得到三角形AOB与三角形ABD全等，得出AD垂直于BC，进而确定出B，D，C三点共线，求出直线OD解析式，与直线AB解析式联立求出M坐标，确定出D坐标，设直线CD解析式为y=mx+n，把B与D坐标代入求出m与n的值，即可确定出解析式．

解答 解：∵△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，
∴△BOA≌△CDA，
∵∠DOA=∠OBA，∠OAM=∠BAO，
∴△AOM∽△ABO，
∴∠AMO=∠AOB=90°，
∴OD⊥AB，
∵AO=AD，
∴∠OAM=∠DAM，
在△AOB和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=DA}\\{∠BAO=∠BAD}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△ABD（SAS），
∴OM=DM，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴B，D，C三点共线，
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A与B坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴直线OD解析式为y=$\frac{3}{4}$x，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+4}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{48}{25}}\\{y=\frac{36}{25}}\end{array}\right.$，即M（$\frac{48}{25}$，$\frac{36}{25}$），
∵M为线段OD的中点，
∴D（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$），
设直线CD解析式为y=mx+n，
把B与D坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{96}{25}m+n=\frac{72}{25}}\\{n=4}\end{array}\right.$，
解得：m=-$\frac{7}{24}$，n=4，
则直线CD解析式为y=-$\frac{7}{24}$x+4．
故答案为：y=-$\frac{7}{24}$x+4

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，两直线的交点坐标，坐标与图形性质，以及旋转的性质，得出B，D，C三点共线是解本题的关键．