Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC= ，点E在AD上，且AE=2ED．
（Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；
（Ⅱ）若△PBC的面积是梯形ABCD面积的 ，求点E到平面PBC的距离．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：∵AB⊥AC，AB=AC，∴∠ACB=45°， ∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，
∴∠ACD=45°，即AD=CD，
∴ ，
∵AE=2ED，CF=2FB，∴ ，
∴四边形ABFE是平行四边形，则AB∥EF，
∴AC⊥EF，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，
∵PA∩AC=A，
∴EF⊥平面PAC，∵EF平面PEF，
∴平面PEF⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，且AB=AC，∴PB=PC，
取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，AG=CD=1
设PA=x，连接PG，则 ，
∵侧面PBC的面积是底面ABCD的 倍，
∴ ，即PG=2，求得 ，
∵AD∥BC，∴E到平面PBC的距离即时A到平面PBC的距离，
∵VA﹣PBC=VP﹣ABC ， S△PBC=2S△ABC ，
∴E到平面PBC的距离为 ．

【解析】（Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，证明EF⊥平面PAC，即可证明：平面PEF⊥平面PAC；（Ⅱ）E到平面PBC的距离即时A到平面PBC的距离，利用VA﹣PBC=VP﹣ABC ， 求点E到平面PBC的距离．
【考点精析】掌握平面与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．