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如图甲,在菱形ABCD中,AC与BD交于O,AC=8,AD=5,DE⊥CD,垂足为E,交AC于F.
(1)填空:△ODF∽△______(只写一个三角形);
(2)求OF的长;
(3)△DCE沿ED剪下,再把△DCE绕EC翻转,平移拼接成如图乙所示(拼接后D、E两点正好交换位置),判断此时四边形ABDC是什么特殊四边形(不证明)?并求图乙中的AC长.

【答案】分析:(1)先由菱形的性质得出∠ACD=∠ACB,由对顶角的性质得出∠AFD=∠CFE,再由直角三角形的性质得出∠ODF=∠ACD,故可得出结论;
(2)先根据AC=8,AD=5求出OD的长,由(1)可知△ODF∽△OCD,再由相似三角形的对应边成比例即可得出OF的长;
(3)先根据菱形的性质判断出四边形ABDC的形状,再得出DE的长,在Rt△DEC中利用勾股定理可求出CE的长,故可得出AC的长.
解答:解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ACD=∠ACB,
∵DE⊥BC,
∴∠ACB+∠CFE=90°,
∵∠DFO+∠ODF=90°,∠CFE=∠DFE,
∴∠ODF=∠ACB,
∴∠ODF=∠ACD,
∴:△ODF∽△OCD,
故答案为:△OCD(答案不唯一);

(2)在菱形ABCD中,
∵BD⊥AC,AC=8,AD=5,
∴OA=4,OD=3,
由(1)知,△ODF∽△OCD,
,即32=4×OF,解得,OF=

(3)在图乙中,
∵AC∥BD,AB=CD,
∴四边形ABCD是等腰梯形,
∵DE•BC=AC•BD=×6×8,解得DE=
在Rt△DEC中,
∵DE2+CE2=CD2,即(2+CE2=25,解得CE=
∴AC=AE+CE=5+=
点评:本题考查的是相似三角形综合题,涉及到相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的性质等相关知识,熟知菱形的知识是解答此题的关键.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

21、如图甲,在△ABC中,E是AC边上的一点,
(1)在图甲中,作出以BE为对角线的平行四边形BDEF,使D、F分别在BC和AB边上;
(2)改变点E的位置,则图甲中所作的平行四边形BDEF有没有可能为菱形?若有,请在图乙中作出点E的位置(用尺规作图,并保留作图痕迹);若没有,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

根据所给的基本材料,请你进行适当的处理,编写一道综合题.
编写要求:①提出具有综合性、连续性的三个问题;②给出正确的解答过程;③写出编写意图和学生答题情况的预测.
材料①:如图,先把一矩形纸片ABCD对折,得到折痕MN,然后把B点叠在折痕线上,得到△ABE,再过点B把矩形ABCD第三次折叠,使点D落在直线AD上,得到折痕PQ.当沿着BE第四次将该纸片折叠后,点A就会落在EC上.
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材料②:已知AC是∠MAN的平分线.
(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=ADC=90°,求证:AB+AD=AC;
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)在图3中:若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,
则AB+AD=
 
AC(用含α的三角函数表示).
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材料③:
已知:如图甲,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿线段BA向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿线段AC向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ,设运动的时间为t(s)(0<t<2).
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编写试题选取的材料是
 
(填写材料的序号)
编写的试题是:(1)设△AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式.
(2)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?若存在,求出此时t的值.
(3)如图(2),连接PC,并把△PQC沿QC翻折得到四边形PQP'C.是否存在某一时刻t,使四边形PQP'C为菱形?若存在,求出此时菱形的边长.
试题解答(写出主要步骤即可):(1)过点Q作QD⊥AP于点D,证△AQD∽△ABC,利用相似性质及面积解答;
(2)分别求得Rt△ACB的周长和面积,由周长求出t,代入函数解析式验证;
(3)利用余弦定理得出PC、PQ,联立方程,求得t,再代入PC解得答案.

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科目:初中数学 来源: 题型:

、(本题12分)如图甲,在△ABC中,E是AC边上的一点,
(1)在图甲中,作出以BE为对角线的平行四边形BDEF,使D、F分别在BC和AB边上;
(2)改变点E的位置,则图甲中所作的平行四边形BDEF有没有可能为菱形?若有,请在图乙中作出点E的位置(用尺规作图,并保留作图痕迹);若没有,请说明理由.
 

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科目:初中数学 来源:2011-2012年浙江省九年级数学模拟试题数学卷 题型:解答题

(本题12分) 如图甲,在△ABC中,E是AC边上的一点,

(1)在图甲中,作出以BE为对角线的平行四边形BDEF,使D、F分别在BC和AB边上;

(2)改变点E的位置,则图甲中所作的平行四边形BDEF有没有可能为菱形?若有,请在图乙中作出点E的位置(用尺规作图,并保留作图痕迹);若没有,请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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科目:初中数学 来源:2012届浙江省初三模拟考试数学卷 题型:选择题

、(本题12分) 如图甲,在△ABC中,E是AC边上的一点,

(1)在图甲中,作出以BE为对角线的平行四边形BDEF,使D、F分别在BC和AB边上;

(2)改变点E的位置,则图甲中所作的平行四边形BDEF有没有可能为菱形?若有,请在图乙中作出点E的位置(用尺规作图,并保留作图痕迹);若没有,请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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