Question

3．如图，抛物线$y=\frac{2}{m}{x^2}-2x$与x轴的负半轴交于点A，对称轴经过顶点B与x轴交于点M．
（1）求抛物线的顶点B的坐标 （用含m的代数式表示）；
（2）连结BO，若BO的中点C的坐标为（$-\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，D在抛物线上，E在直线BM上，若以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用配方法或公式法都能求出点B的坐标；
（2）根据中点坐标公式求出m的值，代入抛物线的解析式即可；
（3）先求出A点坐标与对称轴方程，再设D（x，-$\frac{1}{3}$x²-2x），E（-3，t），分当AC为平行四边形的对角线；AE为对角线与AD为对角线三种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵y=$\frac{2}{m}$x²-2x=$\frac{2}{m}$（x²-mx+$\frac{1}{4}$m²）-$\frac{2}{m}$•$\frac{1}{4}$m²=$\frac{2}{m}$（x-$\frac{1}{2}$m）²-$\frac{1}{2}$m，
∴抛物线的顶点B的坐标为（$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{2}$m）；

（2）∵B（$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{2}$m），BO的中点C的坐标为（$-\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴$\frac{1}{4}$m=-$\frac{3}{2}$，解得m=-6，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x²-2x；

（3）∵抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²-2x与x轴的负半轴交于点A，
∴A（-6，0），
∴对称轴BE为x=-3．
∵D在抛物线上，E在直线BM上，
∴设D（x，-$\frac{1}{3}$x²-2x），E（-3，t），
如图1，当AC为平行四边形的对角线时，
∵C（$-\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴-6-$\frac{3}{2}$=x-3，$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{3}$x²-2x+t，解得x=-$\frac{9}{2}$，t=-$\frac{3}{4}$，
∴D（-$\frac{9}{2}$，$\frac{9}{4}$），E（-3，-$\frac{3}{4}$）；
如图2，当AE为对角线时，-6-3=-$\frac{3}{2}$+x，t=-$\frac{1}{3}$x²-2x+$\frac{3}{2}$，解得x=-$\frac{15}{2}$，t=-$\frac{9}{4}$，
∴D（-$\frac{15}{2}$，-$\frac{15}{4}$），E（-3，-$\frac{9}{4}$）；
当AD为对角线时，-6+x=-$\frac{3}{2}$-3，-$\frac{1}{3}$x²-2x=t+$\frac{3}{2}$，解得x=$\frac{3}{2}$，t=-$\frac{21}{4}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），E（-3，-$\frac{21}{4}$）．
综上所示，D（-$\frac{9}{2}$，$\frac{9}{4}$），E（-3，-$\frac{3}{4}$）或D（-$\frac{15}{2}$，-$\frac{15}{4}$），E（-3，-$\frac{9}{4}$）或D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），E（-3，-$\frac{21}{4}$）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质等知识，同时要注意的是平行四边形四顶点顺序不确定时，一定要分情况讨论，以免漏解．