Question

在△ABC中，∠B=60°，∠A，∠C的角平分线AE，CF相交于点O，
（1）如图1，若AB=BC，求证：OE=OF；
（2）如图2，若AB≠BC，试判断线段OE与OF是否相等，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）可证明△ACF≌△CAE，再由角平分线的性质得出∠OAC=∠OCA，从而得出OE=OF；
（2）过点O作OH⊥AC，OM⊥BC，ON⊥AB，垂足分别为H，M，N，连接OB．根据角平分线的性质定理以及逆定理可推得点O在∠B的平分线上，从而得出∠OBN=∠OBM=30°，由已知得出∠OEM=∠OFN，能证明Rt△OFN≌Rt△OEM，则OE=OF成立．

解答：证明：（1）∵∠B=60°，AB=BC，
∴∠A=∠C=60°，
∵AECF分别平分∠A，∠C，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴OA=OC，△ACF≌△CAE（ASA），
∴AE=CF，
∴OE=OF；

（2）过点O作OH⊥AC，OM⊥BC，ON⊥AB，垂足分别为H，M，N，连接OB．
∵点O在∠A，∠C的平分线上，
∴ON=OH，OH=OM，从而OM=ON，
∴点O在∠B的平分线上   （1分）
∴∠OBN=∠OBM=30°，ON=OM   （2分）
又∠OEM=∠B+

1

2

∠A=60°+

1

2

∠A
∠OFN=∠A+

1

2

∠C=

1

2

（∠A+∠C）+

1

2

∠A=

1

2

（180°-60°）+

1

2

∠A=60°+

1

2

∠A．
∴∠OEM=∠OFN．（2分）
∴Rt△OFN≌Rt△OEM（AAS），（1分）
∴OE=OF．（1分）

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，注意一题多解以及方法的简单性．