Question

【题目】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和C（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜8a；④；⑤b＜c．其中含所有正确结论的选项是_____．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解：①由抛物线开口向上，则a＞0

∵对称轴为x=1

∴

∴可得b＜0，

∵抛物线与y轴的交点B在（0，﹣2）和C（0，﹣1）之间

∴-2＜c＜-1<0，

∴abc＞0，①是正确的；

②由点A(-1,0)和对称轴直线x=1可知：

抛物线与x轴另一个交点为（3,0）

∴当x=2时，y=4a+2b+c＜0，因此②不正确，

③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，-1）的下方，对称轴在y轴右侧，a＞0，

∴最小值：

∴，因此③正确；

④∵图象与x轴交于点A（-1，0）和（3，0），

∴ax2+bx+c=0的两根为-1和3，

∴根据一元二次方程根于系数关系可得：，

∴c=-3a，

∴-2＜-3a＜-1，

∴＜a＜；故④正确；

⑤抛物线过（-1，0）

∴a-b+c=0，

即，b=a+c，

又∵a＞0，且

∴

∴

∴

又∵b<0，c<0

∴b＞c，因此⑤不正确；

故答案为：①③④