Question

3．如图，顺次连结△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S₁，顺次连结△CEF三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S₂，顺次连结△CGH三边的中点得到的三角形面积为S₃．设△ABC的面积为S，则S₁+S₂+S₃=$\frac{21}{64}$S．

Answer 1

分析 先根据题意得出△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CEF∽△CBA，由相似三角形的性质求出△ADF，△BDE，△CEF的面积，进而可得出S1的值，同理可得出S₂，S₃的值，进而可得出结论．

解答 解：∵D，E，F是△ABC三边的中点，
∴DF∥BC，DE∥AC，EF∥AB，
∴△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CEF∽△CBA且相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△BDE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{4}$，
∵△ABC的面积为S，
∴S_△ADF=S_△BDE=S_△CEF=$\frac{1}{4}$S，
∴S₁=S-S_△ADF-S_△BDE-S_△CEF=S-$\frac{1}{4}$S-$\frac{1}{4}$S-$\frac{1}{4}$S=$\frac{1}{4}$S．
同理可得，S₂=$\frac{1}{4}$S_△CEF=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$S=$\frac{1}{16}$S，S₃=$\frac{1}{4}$S_△CGH=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$S=$\frac{1}{64}$S，
∴S₁+S₂+S₃=$\frac{1}{4}$S+$\frac{1}{16}$S+$\frac{1}{64}$S=$\frac{21}{64}$S．
故答案为：$\frac{21}{64}$S．

点评 本题考查的是三角形中位线定理及相似三角形的性质，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．