Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B

（1）求点A，B的坐标及直线AB的函数表达式；

（2）若直线l⊥x轴，且直线l在第一象限内与抛物线交于点M，与直线AB交于点N，求点M与点N之间的距离的最大值，并求出此时点M，N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A（3，0），B（0，3），y＝﹣x+3；（2）MN有最大值，M，N.

【解析】

(1)求出B(0，3)，A(3，0)，C(﹣1，0)，待定系数法求解析式；

(2)M(a，﹣a2+2a+3)，N(a，﹣a+3)，M在点N的上方，MN＝﹣a2+2a+3﹣(﹣a+3)＝﹣(a﹣)2+，由0＜a＜3，即可求MN的最大值；

(1)由y＝﹣x2+2x+3可得：

B(0，3)，A(3，0)，C(﹣1，0)，

设直线AB的解析式y＝kx+b，

∴，

∴，

∴y＝﹣x+3；

(2)设直线l的解析式为x＝a，

∴0＜a＜3，

∴M(a，﹣a2+2a+3)，N(a，﹣a+3)，

∵MN在第一象限，

∴点M在点N的上方，

∴MN＝﹣a2+2a+3﹣(﹣a+3)＝﹣(a﹣)2+，

∴当a＝时，MN有最大值，

∴N(，)，M(，)；