Question

解三角形：
（1）已知△ABC中，AB=15cm，AC=24cm，∠A=60°．求BC的长．
（2）已知△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．
（3）△ABC中，CD⊥AB于D，若CD²=AD•DB，求证：△ABC是直角三角形．

Answer 1

解：（1）如图：∵∠A=60°，AC=24cm，
∴BC=AC•sin60°=24×=12；
（2）∵AB=13，BC=14，AC=15，
∴AB+BC+CA=13+14+15=42，
∴S=
=84，
∴BC•AD=84，
即×14•AD=84，
AD==12．
（3）如图：∵CD²=AD•DB，
∴，
又∵CD⊥AB于D，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠A=∠DCB，∠ACD=∠CBD，
∴∠ACB=∠DCB+∠ACD=∠A+∠ACD=90°，
∴△ABC是直角三角形．
分析：（1）根据题意画出图形，利用∠A的正弦函数解答；
（2）根据海伦--秦九韶公式，求出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式求出BC边上的高；
（3）根据CD⊥AB于D，若CD²=AD•DB，证出△ADC∽△CDB，然后推出∠ACB=90°，从而证出：△ABC是直角三角形．
点评：本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理、特殊角的三角函数值、海伦公式、相似三角形的性质等，是解题的关键．