Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，cosB=

1

3

?点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC交于点D、E，且EF⊥AC，垂足为F，设OB=x，CF=y．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）．

Answer 1

分析：（1）判定直线EF是⊙O的切线，可以证明直线EF垂直于OE即可；
（2）求y关于x的函数关系式可以根据BDE∽△CEF得到关于x，y的关系式，从而得到函数解析式．

解答：（1）证明：连接OE
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵OB=OE
∴∠B=∠BEO
∴∠C=∠BEO
∴AC∥OE
∵EF⊥CA
∴EF⊥OE
点E在⊙O上
直线EF是⊙O的切线；

（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为G，
∴BG=

1

3

AB=2．
∵AB=AC，
∴BC=2BG=4．
∵OB=x，
∴BD=2x．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB=90°．
∵cosB=

1

3

=

BE

BD

，
∵OB=x，
∴BD=2x，
∴BE=

2

3

x，
∴CE=BC-BE=4-

2

3

x．
∵△BDE∽△CEF，
∴

BD

CE

=

BE

CF

，
∴y=-

2

9

x+

4

3

．

点评：本题考查了切线的证明方法，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．本题是一个函数与相似性相结合的题目，是中考中经常出现的问题．