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    如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），点B的坐标（-2，0），点O为原点．
    （1）求过点A，O，B的抛物线解析式；
    （2）在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，请直接写出满足条件的点C的坐标；
    （3）将原点O绕点B逆时针旋转120°后得点O′，判断点O′是否在抛物线上，请说明理由；
    （4）在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点E，线段OE把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOE面积比为2：3，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）根据抛物线经过点A，O，B，运用待定系数法就可以直接求出抛物线的解析式；
    （2）过点A作x轴的垂线与x轴的交点是C，作CA⊥AB于A，交x轴于点C，这就是满足条件的C，利用解直接三角形就可以求出C点的坐标；
    （3）由旋转的旋转，求出O′的坐标，然后代入抛物线的解析式就可以判断该点是否在抛物线上；
    （4）由A、B的坐标可以求出直线AB的解析式，设出点P的坐标，就可以表示出E的坐标，利用面积之比建立等量关系根据两种不同的情况就可以求出P的解析式．
    解答：解：（1）设y=ax2+bx+c，根据题意得
    ，
    解得，
    所以y=x2+x．

    （2）C（1，0）或C（2，0）

    （3）由题意得O′（-3，），将O′（-3，）代入y=x2+x，左边=右边
    ∴点O′在函数图象上．

    （4）点P坐标为（-，-）．
    ∵A的坐标为（1，），点B的坐标（-2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，则有

    解得：，
    ∴直线AB的解析式为：y=x+
    假设存在这样的点P，它的横坐标为h，则点P坐标为（h，h2+h），
    点E坐标为（h，h+），分两种情况：
    ①△OBE的面积：四边形BPOE面积=2：3，
    则[×2×（h+）]：[×2×（h+）+×2×（-h2-h）]=2：3，
    解得h=-，此时点P坐标为（-，-）；
    ②△AOE的面积：四边形BPOE面积=2：3，
    则[-×2×（h+）]：[×2×（h+）+×2×（-h2-h）]=2：3，
    解得：h=-，或h=-2（不合题意，舍去），
    此时点P坐标为（-，-）．
    综上所述：点P坐标为（-，-）．
    点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，三角形的面积，勾股定理的逆定理的运用．
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    精英家教网如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    （2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
    5
    29
    5
    29
    ．

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    如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
    5
    5
    ．

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    如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=
    k
    x
    图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
    k
    x
    的解析式为（　　）

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    如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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