Question

17．如图所示，P为△AOB内一点，M、N分别为OA、OB上任意点，∠MPN=β，∠AOB=α，当△MPN的周长最小时，求α，β的关系．

Answer 1

分析 设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，根据对称的性质即可得到结论．

解答 解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=2α，
∴∠MPO=∠MCO，∠NPO=∠NDO，
∴∠MCO+∠NDO=∠MPN=β，
∴2α+β=180°．

点评 此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰三角形的性质，轴对称的性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．