Question

已知：AB为圆O的直径，C，D为圆O上的点，C是优弧ACD的中点，CE垂直DB交DB的延长线于点E．
（1）如图1，判断直线CE与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若CE=4，BE=3，连BC，CD，求cos∠BCD的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；运用圆周角定理及其推论证明∠OCE=90°，即可解决问题．
（2）首先运用切割线定理求出ED的长度；证明四边形CEDF为矩形，得到CF=DE；证明OF为△ABD的中位线；求出AF、OF的长度；进而求出OA的长度，即可解决问题．

解答： 解：（1）如图，连接BC、AD、CO，延长CO交AD于点F；
则∠CBE=∠CAD；而C是优弧ACD的中点，
∴

CD

=

CA

，
∴∠CBA=∠CDA=∠CAD，而∠CBE=∠CAD，∠CBA=∠OCB，
∴∠CBE=∠OCB；而CE⊥BE，
∴∠ECB+∠EBC=∠ECB+∠OCB=90°，
∴OC⊥CE，
即CE为⊙O的切线．
（2）∵CE为⊙O的切线，且CE=4，BE=3，
∴CE²=EB•ED，即4²=3•ED，
∴ED=

16

3

，BD=

16

3

-3=

7

3

；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，而∠E=∠OCE=90°，
∴四边形CEDF为矩形，
∴OF⊥AD，AF=DF=CE=4，
∴OF为△ABD的中位线，
∴OF=

1

2

BD=

7

6

；由勾股定理得：
OA2=(

7

6

)2+42=

625

36

，
∴OA=

25

6

，
∴cos∠BAD=

AF

OA

=

24

25

，而∠BCD=∠BAD，
∴cos∠BCD=

24

25

．

点评：该题主要考查了切线的判定、圆周角定理及其推论、矩形的判定、垂径定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握切线的判定、圆周角定理及其推论、矩形的判定、垂径定理等几何知识点是解题的关键．