Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），对称轴方程是x=3，顶点为B，直线y=kx+m经过A、B两点，它与坐标轴围成的三角形的面积为2，求一次函数y=kx+m和二次函数y=ax²+bx+c的解析式．

Answer 1

分析：设直线y=kx+m与y轴交于C点，则S_△AOC=2，且OA=1，可求OC，分C点在y轴正半轴和负半轴两种情况，分别求直线AC的解析式，再根据顶点的横坐标为3，求顶点的纵坐标，设抛物线的顶点式，将A（1，0）代入，求抛物线解析式．

解答：解：设直线y=kx+m与y轴交于C点，则S_△AOC=

1

2

×OA×OC=2，
又OA=1，解得OC=4，
∴m=4或-4，
①当m=4时，将A（1，0）代入y=kx+4中，得k=-4，
∴y=-4x+4，
当x=3时，y=-4x+4=-8，即抛物线顶点坐标为（3，-8），
设抛物线解析式为y=a（x-3）²-8，将A（1，0）代入，得a=2，
∴y=2（x-3）²-8，即y=2x²-12x+10；
②当m=-4时，将A（1，0）代入y=kx-4中，得k=4，∴y=4x-4，
当x=3时，y=4x-4=8，即抛物线顶点坐标为（3，8），
设抛物线解析式为y=a（x-3）²+8，将A（1，0）代入，得a=-2，
∴y=-2（x-3）²+8，即y=-2x²+12x-10；
故一次函数与二次函数解析式分别为y=-4x+4，y=2x²-12x+10或y=4x-4，y=-2x²+12x-10．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）；顶点式y=a（x-h）²+k，其中顶点坐标为（h，k）；交点式y=a（x-x₁）（x-x₂），抛物线与x轴两交点为（x₁，0），（x₂，0）．