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y=
ax+bcx+d
,a、b、c、d都是有理数,x是无理数.求证:
(1)当bc=ad时,y是有理数;
(2)当bc≠ad时,y是无理数.设△ABC的三边分别是a、b、c,且a2+c2+8b2-4ab-4bc=0,试求△ABC的形状.
分析:(1)根据y的表达式可得c、d不能同时为0,从而分三种情况讨论,①若c=0,d≠0,②若d=0,c≠0,③若c≠0,d≠0,这样根据bc=ad的条件,可将每种情况下y的值求出来,继而可证得结论;
(2)运用反证法,假设bc=ad时,y为有理数,则(cx+d)y=ax+b,即(cy-a)x+(dy-b)=0,这样根据题意可判断出cy-a=0,dy-b=0,进而能得出bc≠ad的结论,得出矛盾.
解答:证明:(1)c、d不能同时为0,否则y无意义,
①若c=0,由bc=ad,d≠0,可得a=0,此时y=
b
d

②若d=0,则c≠0,由bc=ad,可得b=0,此时y=
ax
cx
=
a
c
为有理数,
③若c≠0,d≠0,由bc=ad得a=
bc
d
,代入y得,y=
b
d
为有理数.
综上三种情况可得当bc=ad时,y是有理数;

(2)①假设bc≠ad时,y为有理数,则(cx+d)y=ax+b,即(cy-a)x+(dy-b)=0,
因cy-a,dy-b为有理数,x为无理数,
故有cy-a=0,dy-b=0,
从而bc=cdy=(cy)d=ad,这与已知条件bc≠ad矛盾,从而y不是有理数,y一定是无理数.
②∵a2+c2+8b2-4ab-4bc=0,可得(a-2b)2+(c-2b)2=0,
从而可得a=2b=c,
故可判断△ABC是等腰三角形.
点评:本题考查有理数及无理数的概念及运算,难度较大,证明本题需要我们熟练掌握有理数与无理数的运算所得结果的特点,另外要求我们掌握分类讨论思想在解题中的运用.
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