Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0.

(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.

(2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】

本题主要考查了根与系数的关系. （1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

解：（1）已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0，

∴△=（-2k）2-4×（k2-2）=2k2+8，

∵2k2+8＞0恒成立，

∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根．

（2）∵x1、x2是方程的两个根，

∴x1+x2=2k，x1x2=k2-2，

∴x12-2kx1+2x1x2=x12-（x1+x2）x1+2x1x2=x1x2=k2-2=5，

解得k=±．