分析 根据平行得到的同位角相等可得PM=BM,利用轴对称的选择可得PM=P′M,同理可得NP′=NP=NC,那么点M是△P′BP的外心,点N是△P′PC的外心,进而证明∠BP′C=∠BAC,可得P′点在△ABC外接圆上,根据圆周角定理得到P′P平分∠BP′C,然后根据三角形角平分线定理即可得到结论.
解答 解:连接P′M,P′N,PP′,
∵点P关于MN的对称点为P′.
∴MP′=MP=MB,NP′=NP=NC,
∴点M是△P′BP的外心,点N是△P′PC的外心,
∴∠BP′P=$\frac{1}{2}$∠BMP=$\frac{1}{2}$∠BAC,
∠PP′C=$\frac{1}{2}$∠PNC=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.
从而,P′点与A,B,C共圆,
即P′在△ABC外接圆上;
∵PM∥AC,PN∥AB,
∴∠MPB=∠ABC=∠NPC=∠ACB=60°,
∴△PBM与△PCN是等边三角形.
∴∠BMP=∠CNP=60°,
∴∠BP′P=∠CP′P=30°,
∴P′P平分∠BP′C,
∴P′B:P′C=BP:PC.
点评 本题考查了三角形的外接圆和外心,三角形的角平分线定理,四点共圆,熟练掌握三角形的角平分线定理是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | D. | $\frac{3}{2}$ |
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