Question

16．已知抛物线y=ax²+bx经过点（3，-3），（-1，-3）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）将此抛物线向上平移n个单位得到y₂，已知y₃=-2x+7，且y₂与y₃只有一个公共点C，求平移单位n及点C的坐标；
（3）y₂与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），若y₂上有一点M，x轴上有一点N，以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据方程组有一组解，可得判别式等于零，根据解方程，可得n的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据平行四边形的判定，可得答案．

解答 解：（1）将（3，-3），（-1，-3）代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=-3}\\{a-b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
函数解析式为y=-x²+2x；

（2）由抛物线向上平移n个单位得到y₂=-x²+2x+n，
联立y₂，y₃，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+7}\\{y=-{x}^{2}+2x+n}\end{array}\right.$，
化简，得
x²-4x+7-n=0，
由y₂与y₃只有一个公共点C，得
（-4）²-4（7-n）=0，
解得n=3，
当n=3时，x²-4x+4=0，
解得x=2，y=-2x+7=3，
即C点坐标为（2，3）；

（3）y₂=-x²+2x+3，当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x=-1，x=3（舍），
即A（-1，0）．
①如图1，
以AC为对角线时，MC∥AN，MC=AN，
C（2，3），当y=3时，-x²+2x+3=3，解得x₁=0，x₂=2（舍），即M（0，3），
AN=MC=2，-1+2=1，即N₂（1，0），
-1-2=-3，即N₁（-3，0）；
②如图2，
以AC为边时，AN是对角线，A、N的纵坐标互为相反数，得
C、M的纵坐标互为相反数，M的纵坐标为-3，
当y=-3时，-x²+2x+3=-3，解得 x₁=1+$\sqrt{7}$，x₂=1-$\sqrt{7}$，
M₁（1+$\sqrt{7}$，-3），M₂（1-$\sqrt{7}$，-3），
当M₁（1+$\sqrt{7}$，-3）时，CM的中点是（$\frac{3+\sqrt{7}}{2}$，0），AN的中点是（$\frac{3+\sqrt{7}}{2}$，0），得N₁（4+$\sqrt{7}$，0）；
当M₂（1-$\sqrt{7}$，-3）时，CM的中点是（$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$，0），AN的中点是（$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$，0），得N₂（4-$\sqrt{7}$，0）；
综上所述：以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，点N的坐标（1，0），（-3，0），（4+$\sqrt{7}$，0），（4-$\sqrt{7}$，0）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用根的判别式得出n的值，解（3）的关键是平行四边形的判定一组对边平行且相等得出AN=MC；平行四边的对角线互相平分得出CM与AN的中点坐标重合，要分类讨论，以防遗漏．