Question

已知在等式

ax+b

cx+d

=s中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数，解答：
（1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数；
（2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数．

Answer 1

分析：（1）要根据a，b，c，d是否为0进行分类讨论，①当a=c=0，d≠0时，可以判断出s是有理数，②当c≠0时，对s进行化简，然后讨论s是有理数的条件，
（2）根据题干条件进行分类讨论，①当c=0，d≠0，且a≠0时，s很明显是无理数，②当c≠0时，对s进行化简，然后讨论s是无理数的条件．

解答：解：（1）当a=c=0，d≠0时，s=

b

d

是有理数．
当c≠0时，s=

ax+b

cx+d

=

a c (cx+d)+b- ad c

cx+d

=

a

c

+

b- ad c

cx+d

，
其中：

a

c

是有理数，cx+d是无理数，b-

ad

c

是有理数．
要使s为有理数，只有b-

ad

c

=0，即bc=ad．
综上知，当a=c=0且d≠0或c≠0且ad=bc时，s是有理数．
（2）当c=0，d≠0，且a≠0时，s是无理数．
当c≠0时，s=

ax+b

cx+d

=

a c (cx+d)+b- ad c

cx+d

=

a

c

+

b- ad c

cx+d

其中：

a

c

是有理数，cx+d是无理数，b-

ad

c

是有理数．
所以当b-

ad

c

≠0，即bc≠ad，s为无理数．
综上知，当c=0，a≠0，d≠0或c≠0，ad≠bc时，s是无理数．

点评：本题主要考查无理数和有理数的知识点，进行分类讨论是解答的关键，此题学生很容易出现漏解的情况，需要同学们仔细作答．