Question

【题目】以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D．

（1）如图1，过点D作⊙O的切线交AC于E，若点E为线段AC中点，求证：AC与⊙O相切．

（2）在（1）的条件下，若BD=6，AB=10，求△ABC的面积．

（3）如图2，连OC交⊙O于E，BE的延长线交AC于F，若AB=AC，CE=AF=4，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）CF=

【解析】

（1）连接OD，OE，利用全等三角形的判定得出△ODE与△OAE全等，再利用切线的判定证明即可；

（2）根据切线的性质和勾股定理和三角形面积公式解答即可．

（3）由△AEC∽△EFC即可得出FC的长．

证明：（1）连接OD，OE，AD，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADC=90°，

∵点E为线段AC中点，

∴AE=EC，

∴AE=DE，

在△ODE与△OAE中

，

∴△ODE≌△OAE（SSS），

∴∠ODE=∠OAE，

∵⊙O的切线交AC于E，

∴∠ODE=90°，

∴∠OAE=90°，

∴OA⊥AC，

即AC与⊙O相切；

（2）如图3，连接AD，AE

∵△ABD∽△ADC

∴==

∴==

∴CD=，AC=

∴S△ABC===；

（3）如图，作FH∥AB交OC于H，设半径为r

△FEH为等腰三角形

∵AC=AB=2r

∴CF=2r-4

∵△CFH∽△OAC

∴

∴HF=r-2

∴EH=r-2

∴HC=4-（r-2）=6-r

∵△CFH∽△OAC

∴

∴

∴r=1±

∴r=1+

∴CF=2r-4=2-2.