Question

如图，O是Rt△ABC斜边AB的中点，CH⊥AB于H，延长CH至D，使得CH=DH，F为CO上任意一点，过B作BE⊥AF于E，连接DE交BC于G．
（1）求证：∠CAF=∠CDE；
（2）求证：CF=GF．

Answer 1

考点：四点共圆,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）先连接BD，根据已知条件得出∠BEA=∠ACB=90°，得出A，B，C，E四点共圆且AB是此圆直径，再根据CH⊥AB，CH=DH，确定出D也在此圆上，从而得出A，B，C，D，E五点共圆，即可证出∠CAF=∠CDE；
（2）根据（1）得出∠CDB=∠CAO，∠BCD=∠ACO，得出△AOC∽△DCB，同理证出△AOF∽△DBG，△ACF∽△DCG，从而得出

CF

FO

=

CG

BG

，即可证出GF∥BO，得出O是AB的中点，最后得出CF=GF．

解答：证明：（1）连接BD，
∵△ABC是Rt△，BE⊥AF
∴∠BEA=∠ACB=90°，
∴A，B，C，E四点共圆，且AB是此圆直径，
又∵CH⊥AB，CH=DH，
∴D在此圆上，
∴A，B，C，D，E五点共圆，
∴∠CAF=∠CDE；

（2）由（1）得：∠CDB=∠CAO，∠BCD=∠ACO，
∴△AOC∽△DCB，
同理可证：△AOF∽△DBG，△ACF∽△DCG，
∴

AC

CD

=

AO

BD

，

FO

BG

=

AO

BD

，

AC

CD

=

CF

CG

，
∴

CF

CG

=

FO

BG

，
∴

CF

FO

=

CG

BG

，
∴GF∥BO，
又∵O是AB的中点，
∴CF=GF．

点评：此题考查了四点共圆，解题的关键是根据相似三角形的判定与性质进行解答，是我们初中数学的重点，是中考必考的题型．