Question

12．如图：在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，若OA、OB的长分别是方程若x²-7mx+48=0的两根且OB＞OA，AB=10．AC平分∠BAO交x轴于点C．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）直线AC的解析式．
（3）直线AC上是否存在点P，使A、B、P三点构成的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程根与系数的关系，结合AB的长，利用勾股定理可求得m的值，进一步可求得OA、OB的值，则可求得A、B的坐标；
（2）过C点作AB的垂线交AB于点M，可证得△OAC≌△MAC，在Rt△BCM中，由勾股定理可求得OC的长，可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式；
（3）由条件只能有∠APB=90°和∠PBA=90°，可设出P点坐标，分别表示出PA、PB和AB，利用勾股定理可列出方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）x²-7mx+48=0的两根是OA、OB，
∴OA+OB=7m，OA•OB=48，
∵OA²+OB²=100，
∴（OA+OB）²-2OA•OB=100，即49m²-96=100，解得m=2或m=-2（舍去），
∴x²-14x+48=0，解得x₁=6，x₂=8，
∴OA=6，OB=8，
∴A（0，6），B（8，0）；
（2）过C点作AB的垂线交AB于点M，如图，

∵AC平分∠BAO，
∴∠OAC=∠CAB，
在△OAC和△MAC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAC=∠CAB}\\{∠AOC=∠AMC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$
∴△OAC≌△MAC（AAS），
∴CM=CO，AM=AO，
∵BC²=CM²+MB²
∴OC=3，
∴C（3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），
代入A（6，0）C（3，0）得$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-2x+6；
（3）存在．
∵点P在直线AC上，
∴可设P（x，-2x+6），
∵A（0，6），B（8，0），
∴PA²=x²+（-2x+6-6）²=5x²，PB²=（x-8）²+（-2x+6）²=5x²-40x+100，且AB²=100，
∵∠BAC＜90°，
∴当△PAB为直角三角形时，有∠APB=90°和∠PBA=90°，
①当∠APB=90°时，则有PA²+PB²=AB²，即5x²+5x²-40x+100=100，解得x=0（与A重合，舍去）或x=4，此时P点坐标为（4，-2）；
②当∠PBA=90°时，则有PB²+AB²=PA²，即5x²-40x+100+100=5x²，解得x=5，此时P点坐标为（5，-4）；
∴P点坐标为（4，-2）或（5，-4）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及一元二次方程根与系数的关系、全等三角形的判定和性质、待定系数法、勾股定理、方程思想和分类讨论思想等知识．在（1）中求得m的值是解题的关键，在（2）中证得△OAC≌△MAC是解题的关键，在（3）中确定出直角顶点是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．