Question

如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=10.
（1）求矩形ABCD的周长；
（2）E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠,使点D落在BC边上点F处.
①求DE的长；
②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长.
（3）M是AD上的动点，在DC 上存在点N,使△MDN沿折痕MN折叠,点D落在BC边上点T处, 求线段CT长度的最大值与最小值之和。
  

Answer 1

（1）36  
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.
在Rt△ABF中，BF=6. ∴FC=4.   
在Rt△ECF中，4²+（8-DE）²=EF²，解得DE=5.   
②分三种情形讨论：
若AP=AF，∵AB⊥PF，∴PB=BF=6.   
若PF=AF，则PB+6=10，解得PB=4. 
若AP=PF，在Rt△APB中，AP²=PB²+AB²，解得PB=. 
综合得PB=6或4或.
（3）当点N与C重合时，AT取最大值是8， 
当点M与A重合时， AT取最小值为4．     
所以线段AT长度的最大值与最小值之和为：12．

（1）因为矩形的两组对边相等，所以周长等于邻边之和的2倍；
（2）①四边形ABCD是矩形，由折叠对称的特点和勾股定理即可求出ED的长；
②分若AP=AF；PF=AF以及AP=P三种情形分别讨论求出满足题意的PB的值即可；
（4）由题意可知当点N与C重合时，AT取最大值是8，当点M与A重合时，AT取最小值为4，进而求出
线段CT长度的最大值与最小值之和．