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5.如图(1)四边形ABCD中,已知∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,DA⊥AB,点E在CD的延长线上,∠BAC=∠DAE.
(1)试说明:△ABC≌△ADE;
(2)试说明CA平分∠BCD;
(3)如图(2),过点A作AM⊥CE,垂足为M,试说明:∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°.

分析 (1)根据三角形的判定定理ASA即可证得;
(2)通过三角形全等得AC=AE,∠BCA=∠E,进而根据等边对等角求得∠ACD=∠E,从而求得∠BCA=∠E=∠ACD即可证得;
(3)通过三角形全等得AC=AE,∠CAE=90°,即△ACE是等腰直角三角形,根据三线合一可得△ACM和△AEM都是等腰直角三角形,进而得出结论.

解答 解:(1)证明:如图,∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADE+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADE,
在△ABC与△ADE中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DAE}\\{AB=AD}\\{∠ABC=∠ADE}\end{array}\right.$,
∴△ABC≌△ADE(ASA);

(2)证明:如图,∵△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,且∠BCA=∠E
∴∠ACD=∠E,
∴∠BCA=∠ACD,即CA平分∠BCD;

(3)由(1)得△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,
∵DA⊥AB,
∴∠BAC+∠CAD=90°,
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠DAE+∠CAD=90°,∠CAE=90°,
∴△ACE是等腰直角三角形,
∵AM⊥CE,
∴△ACM和△AEM都是等腰直角三角形,
∴∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°.

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质,在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形.

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