Question

在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=2，以AB为边作正方形ABDE，连接AD、BE交O，CO=3

2

，则AC的长为（　　）

• A．2
• B．3
• C．4
• D．3

  2

Answer 1

分析：延长CB过点D作CB延长线的垂线，交点为F，过点O作OM⊥CF，先证明RT△ACB≌RT△BFD，然后分别表示出OM、CM的长度，在RT△OCM中利用勾股定理可得出答案．

解答：
解：延长CB过点D作CB延长线的垂线，交点为F，过点O作OM⊥CF，
则可得OM是梯形ACFD的中位线，
∵∠ABC+∠FBD=∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠FBD，
在RT△ACB和RT△BFD中，
∵

AB=BD ∠CAB=∠FBD ∠ACB=∠BFD

，
∴RT△ACB≌RT△BFD，
∴AC=BF，BC=DF，
设AC=x，则OM=

AC+DF

2

=

x+2

2

，CM=

CF

2

=

x+2

2

，
在RT△OCM中，OM²+CM²=OC²，即2（

x+2

2

）²=18，
解得：x=4，即AC的长度为4．
故选C．

点评：此题考查了正方形的性质、勾股定理、梯形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，难度较大．