Question

8．如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于E，F为EC上一点，且∠EAF=∠C．
（1）求证：△AEF∽△BAF；
（2）如果EF=2，BE=5，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）由已知的平行得到一对内错角相等，再由已知的两角相等，等量代换得到∠B=∠EAF，加上公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似即可得证；
（2）由（1）证得的三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，变形后即可得证．

解答 证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
又∠EAF=∠C，
∴∠B=∠EAF，
又∠AFE=∠BFA，
∴△AFE∽△BFA；

（2）由（1）得到△AFE∽△BFA，
∴$\frac{AF}{FB}$=$\frac{EF}{AF}$，
即AF²=EF•FB，
∵EF=2，BE=5，
∴BF=7，
∵AF=$\sqrt{2×7}$=$\sqrt{14}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质，相似三角形的判定方法一般有：1、两对对应角相等的两三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边对应成比例的两三角形相似；在证明线段的乘积形式时，常常把乘积形式化为比例形式来分析，借助三角形相似即可得证．