Question

【题目】解答
（1）如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．

小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD．
∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是 ．
（2）应用：
在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为；
（3）拓展：
在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；小明
（2）100°
（3）解：∠APC=∠C﹣∠A，

理由是：如图3，∵AB∥CD，

∴∠C=∠POB，

∵∠APC=∠POB﹣∠A，

∴∠APC=∠C﹣∠A

【解析】解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB，
∴∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等），
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠CPQ=∠C，
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C，
即∠APC=∠A+∠C；
所以答案是：两直线平行，内错角相等，平行于同一条直线的两条直线互相平行，小明；
2）如图2，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠A+∠APQ=180°，∠C+∠CPQ=180°，
∵∠A=120°，∠C=140°，
∴∠APQ=60°，∠CPQ=40°，
∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=100°，
所以答案是：100°；
【考点精析】掌握平行线的判定与性质是解答本题的根本，需要知道由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质．