【题目】边长为2的正方形
在平面直角坐标系中的位置如图所示，点
是边
的中点，连接
，点
在第一象限，且
，
.以直线
为对称轴的抛物线过
，两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点
从点出发，沿射线
每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为
秒.过点作
于点
，当为何值时，以点，，为顶点的三角形与
相似？
（3）点
为直线上一动点，点
为抛物线上一动点，是否存在点，，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）
或
时，以点
，
，
为顶点的三角形与
相似；（3）存在，四边形
是平行四边形时，
，
；四边形
是平行四边形时，
，
；四边形
是平行四边形时，
，
【解析】
（1）根据正方形的性质，可得OA＝OC，∠AOC＝∠DGE，根据余角的性质，可得∠OCD＝∠GDE，根据全等三角形的判定与性质，可得EG＝OD＝1，DG＝OC＝2，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分类讨论：若△DFP∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠PDF＝∠DCO，根据平行线的判定与性质，可得∠PDO＝∠OCP＝∠AOC＝90，根据矩形的判定与性质，可得PC的长；若△PFD∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠DPF＝∠DCO，
，根据等腰三角形的判定与性质，可得DF于CD的关系，根据相似三角形的相似比，可得PC的长；
（3）分类讨论：当四边形是平行四边形时，四边形是平行四边形时，四边形是平行四边形时，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边，可得答案．
解：（1）过点
作
轴于
点.
∵四边形
是边长为2的正方形，是
的中点，
∴
，
，
.
∵
，∴
.
∵
，∴
.
在
和
中
，
∴
，
，
.
∴点的坐标为
.
∵抛物线的对称轴为直线
即直线
，∴可设抛物线的解析式为
，
将
、点的坐标代入解析式，得
，解得
.
∴抛物线的解析式为；
（2）①若
，则
，
，
∴
，∴四边形
是矩形，
∴
，∴；
②若
，则，
∴.
∴
.
∴
，∴
.
∵
，∴
，∴
.
∵，
∴
，，
综上所述：或时，以点，，为顶点的三角形与相似：
（3）存在，①若以DE为平行四边形的对角线，如图2，
此时，N点就是抛物线的顶点（2，
），
由N、E两点坐标可求得直线NE的解析式为：y＝
x；
∵DM∥EN，
∴设DM的解析式为：y＝x＋b，
将D（1，0）代入可求得b＝，
∴DM的解析式为：y＝x，
令x＝2，则y＝，
∴M（2，）；
②过点C作CM∥DE交抛物线对称轴于点M，连接ME，如图3，
∵CM∥DE，DE⊥CD，
∴CM⊥CD，
∵OC⊥CB，
∴∠OCD＝∠BCM，
在△OCD和△BCM中
，
∴△OCD≌△BCM（ASA），
∴CM＝CD＝DE，BM＝OD＝1，
∴CDEM是平行四边形，
即N点与C占重合，
∴N（0，2），M（2，3）；
③N点在抛物线对称轴右侧，MN∥DE，如图4，
作NG⊥BA于点G，延长DM交BN于点H，
∵MNED是平行四边形，
∴∠MDE＝MNE，∠ENH＝∠DHB，
∵BN∥DF，
∴∠ADH＝∠DHB＝∠ENH，
∴∠MNB＝∠EDF，
在△BMN和△FED中
∴△BMN≌△FED（AAS），
∴BM＝EF＝1，
BN＝DF＝2，
∴M（2，1），N（4，2）；
综上所述，
四边形是平行四边形时，，；
四边形是平行四边形时，，；
四边形是平行四边形时，，.
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【题目】将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1，如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为 时，四边ABC1D1为矩形；当点B的移动距离为 时，四边形ABC1D1为菱形．
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【题目】如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )
A.
n mileB.60 n mileC.120 n mileD.
n mile
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【题目】某玩具商店以每件60元为成本购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价1元，则每天可多卖2件.
(1)若商店打算每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元？
(2)若商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店每天盈利最多？最多盈利多少元？
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【题目】某数学课外活动小组的同学．利用所学的数学知识，测底部可以到达的学校操场上的旗杆AB高度，他们采用了如下两种方法：
方法1：在地面上选一点C，测得CB为40米，用高为1.6米的测角仪在C处测得旗杆顶部A的仰角为28°；
方法2：在相同时刻测得旗杆AB的影长为17.15米，又测得已有的2米高的竹杆的影长为1.5米．
你认为这两种方法可行吗？若可行，请你任选一种方法算出旗杆高度（精确到0.1米）若不可行，自己另设计一种测量方法（旗杆顶端不能到达），算出旗杆高度（结果可用字母表示）
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【题目】如图，在直角坐标系中，点
，点
，过点
的直线
垂直于线段
，点
是直线上在第一象限内的一动点，过点作
轴，垂足为
，把
沿
翻折
，使点落在点
处，若以，，为顶点的三角形与△ABP相似，则满足此条件的点的坐标为__________．
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【题目】手机微信推出了红包游戏，它有多种玩法，其中一种为“拼手气红包”，用户设好总金额以及红包个数后，可以生成不等金额的红包，现有一用户发了三个“拼手气红包”，总金额为3元，随机被甲、乙、丙三人抢到．
（1）下列事件中，确定事件是 ，①丙抢到金额为1元的红包；②乙抢到金额为4元的红包；③甲、乙两人抢到的红包金额之和一定比丙抢到的红包金额多
（2）记金额最多、居中、最少的红包分别为A，B，C．求甲抢到红包A，乙抢到红包C的概率
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【题目】临近端午，某超市准备购进某品牌的白粽、豆沙粽、蛋黄粽，三种品种的粽子共1000袋（每袋均为同一品种的粽子），其中白粽每袋12个，豆沙粽每袋8个，蛋黄粽每袋6个．为了推广，超市还计划将三个品种的粽子各取
出来，拆开后重新组合包装，制成A、B两种套装进行特价销售：A套装为每袋白粽4个，豆沙粽4个；B套装为每袋白粽4个，蛋黄粽2个，取出的袋数和套装的袋数均为正整数．若蛋黄粽的进货量不低于总进货量的
，则豆沙粽最多购进__袋．
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