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(2013•无锡)已知点D与点A(8,0),B(0,6),C(a,-a)是一平行四边形的四个顶点,则CD长的最小值为
7
2
7
2
分析:①CD是平行四边形的一条边,那么有AB=CD;②CD是平行四边形的一条对角线,过C作CM⊥AO于M,过D作DF⊥AO于F,交AC于Q,过B作BN⊥DF于N,证△DBN≌△CAM,推出DN=CM=a,BN=AM=8-a,得出D((8-a,6+a),由勾股定理得:CD2=(8-a-a)2+(6+a+a)2=8a2-8a+100=8(a-
1
2
2+98,求出即可.
解答:解:有两种情况:
①CD是平行四边形的一条边,那么有AB=CD=
62+82
=10
②CD是平行四边形的一条对角线,
过C作CM⊥AO于M,过D作DF⊥AO于F,交AC于Q,过B作BN⊥DF于N,
则∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°,
∠CAM+∠FQA=90°,∠BDN+∠DBN=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BD=AC,∠C=∠D,BD∥AC,
∴∠BDF=∠FQA,
∴∠DBN=∠CAM,
∵在△DBN和△CAM中
∠BND=∠AMC
∠DBN=∠CAM
BD=AC

∴△DBN≌△CAM(AAS),
∴DN=CM=a,BN=AM=8-a,
D((8-a,6+a),
由勾股定理得:CD2=(8-a-a)2+(6+a+a)2=8a2-8a+100=8(a-
1
2
2+98,
当a=
1
2
时,CD有最小值,是
98

98
<10,
∴CD的最小值是
98
=7
2

故答案为:7
2
点评:本题考查了平行四边形性质,全等三角形的性质和判定,二次函数的最值的应用,关键是能得出关于a的二次函数解析式,题目比较好,难度偏大.
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