Question

【题目】如图，抛物线y=﹣+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．

（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；

（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；

（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）直线AB的解析式为y=﹣x+2，抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）N点坐标为（， ）；（3）点M的坐标为（，0）或（，0）．

【解析】试题分析：（1）运用待定系数法求解即可；

（2设N（m，﹣ m2+m+2），P（m，﹣m+2），那么NP=﹣m2+4m，PM=﹣m+2，根据NP=PM列方程求解即可；

（3）分△BPN∽△OBA和△BPN∽△ABO两种情况，列方程求解.

解：（1）设直线AB的解析式为y=px+q，

把A（3，0），B（0，2）代入得，解得，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+2；

把A（3，0），B（0，2）代入y=﹣+bx+c得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；

（2）∵M（m，0），MN⊥x轴，

∴N（m，﹣m2+m+2），P（m，﹣m+2），

∴NP=﹣m2+4m，PM=﹣m+2，

而NP=PM，

∴﹣m2+4m=﹣m+2，解得m1=3（舍去），m2=，

∴N点坐标为（，）；

（3）∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），

∴AB==，BP==m，

而NP=﹣m2+4m，

∵MN∥OB，

∴∠BPN=∠ABO，

当=时，△BPN∽△OBA，则△BPN∽△MPA，即m：2=（﹣m2+4m）：，

整理得8m2﹣11m=0，解得m1=0（舍去），m2=，

此时M点的坐标为（，0）；

当=时，△BPN∽△ABO，则△BPN∽△APM，即m： =（﹣m2+4m）：2，

整理得2m2﹣5m=0，解得m1=0（舍去），m2=，

此时M点的坐标为（，0）；

综上所述，点M的坐标为（，0）或（，0）．