Question

11．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x+b，分别交x轴，y轴于点A、C，点P是直线AC与双曲线y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的交点，过点P作PB⊥x轴于点B，若OB=2，PB=3
（1）填空：k=6；
（2）求△ABC的面积；
（3）求在第一象限内，当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

Answer 1

分析 （1）由OB，PB的长，及P在第一象限，确定出P的坐标，根据P为反比例函数与直线的交点，得到P在反比例函数图象上，故将P的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值；
（2）根据待定系数法求得直线AC的解析式，令y=0求出对应x的值，即为A的横坐标，确定出A的坐标，即可求得AB，然后根据三角形的面积公式求得即可；
（3）由一次函数与反比例函数的交点P的横坐标为2，根据图象找出一次函数在反比例函数下方时x的范围即可．

解答 解：（1）∵PB⊥x轴于点B，OB=2，PB=3，
∴P（2，3），
∵点P是直线AC与双曲线y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的交点，
∴k=2×3=6，
故答案为：6；

（2）∵直线y=$\frac{1}{2}$x+b经过点P（2，3），
∴$\frac{1}{2}$×2+b=3，
∴b=2，
即y=$\frac{1}{2}$x+2，
令x=0，解得y=2，即C（0，2）；
令y=0，解得x=-4，即A（-4，0）；
∴AB=6，CO=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×2=6；

（3）由图象及点P的横坐标为2，可知：
在第一象限内，一次函数的值小于反比例函数的值时，x的范围为0＜x＜2．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点，利用待定系数法确定函数解析式，以及一次函数与坐标轴的交点，解决问题的关键是利用数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法．