Question

9．矩形DEFG的四个顶点分别在Rt△ABC的边上，∠A=90°，在Rt△DGC和Rt△BFE内又作如图所示的正方形JGHI和正方形KFML，求证：ID=EL．

Answer 1

分析 设DG=EF=c，CG=b，FB=m，由△CGD∽△EFB，得$\frac{DG}{FB}$=$\frac{CG}{EF}$，求出FB=$\frac{{c}^{2}}{b}$，设正方形HGJI的边长为x，由JI∥CG，得$\frac{JI}{CG}$=$\frac{DJ}{DG}$，求出正方形边长JG，同理求出正方形KFML的边长，由此求出DJ、KL即可解决问题．

解答 解：∵四边形DEFG是矩形，
∴DG=EF，∠DGF=∠DGC=∠EFG=∠EFB=90°
设DG=EF=c，CG=b，FB=m，
∵∠A=90°，
∴∠C+∠B=90°，∠FEB+∠B=90°，
∴∠C=∠FEB，
∴△CGD∽△EFB，
∴$\frac{DG}{FB}$=$\frac{CG}{EF}$，
∴$\frac{c}{m}$=$\frac{b}{c}$，
∴m=$\frac{{c}^{2}}{b}$，
设正方形HGJI的边长为x，
∵JI∥CG，
∴$\frac{JI}{CG}$=$\frac{DJ}{DG}$，
∴$\frac{x}{b}$=$\frac{c-x}{c}$，
∴x=$\frac{bc}{b+c}$，
同理正方形KFML的边长为$\frac{cm}{c+m}$=$\frac{c•\frac{{c}^{2}}{b}}{c+\frac{{c}^{2}}{b}}$=$\frac{{c}^{2}}{b+c}$，
∴DJ=DG-JG=c-$\frac{bc}{b+c}$=$\frac{{c}^{2}}{b+c}$，∵KL=$\frac{{c}^{2}}{b+c}$，
∴DJ=KL．

点评 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是设参数，把问题转化为代数问题，求出DJ、KL，属于中考常考题型．