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如图1所示,△ABC中,∠A=96°.
(1)BA1平分∠ABC,CA1平分∠ACD,请你求∠A1的度数;
(2)BA2平分∠A1BC,CA2平分∠A1CD,请你求∠A2的度数;
(3)依此类推,写出∠An与∠A的关系式.
(4)如图2,小明同学用下面的方法画出了α角:作两条互相垂直的直线MN、PQ,垂足为O,作∠PON的角平分线OE,点A、B分别是OE、PQ上任意一点,再作∠ABP的平分线BD,BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C,那么∠C就是所求的α角,则α的度数为
22.5°
22.5°

分析:(1)利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠A1CD,再根据角平分线的定义可得∠ACD=2∠A1CD,然后整理即可得解;
(2)与(1)同理列式整理即可得解;
(3)根据所求结果,后一个角是前一个角的
1
2
,然后写出变化规律即可;
(4)先求出∠AOB=45°,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ABD和∠ABP,然后根据BD是∠ABP的平分线,列式整理即可得解.
解答:解:(1)∵BA1平分∠ABC,CA1平分∠ACD,
∴∠ABC=2∠A1BC,∠ACD=2∠A1CD,
在△ABC中,∠ACD=∠A+∠ABC,
在△A1BC中,∠A1CD=∠A1+∠A1BC,
∴∠A+∠ABC=2(∠A1+∠A1BC),
整理得,∠A=2∠A1
∵∠A=96°,
∴∠A1=48°;

(2)同理可得∠A1=2∠A2
所以,∠A2=24°;

(3)观察不难得出,后一个角是前一个角的
1
2

所以,∠An=
∠A
2n


(4)∵MN⊥PQ,OE平分∠PON,
∴∠AOB=45°,
∵BD平分∠ABP,AC平分∠OAB,
∴∠ABP=2∠ABD,∠OAB=2∠BAC,
在△ABC中,∠ABD=∠C+BAC,
在△OAB中,∠ABP=∠AOB+∠OAB,
∴∠AOB+∠OAB=2(∠C+BAC),
整理得,∠AOB=2∠C,
∴∠C=
1
2
×45°=22.5°,
即α=22.5°.
点评:本题主要考查了三角形的内角和定理,三角形的角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记性质并理清图中角度之间的关系是解题的关键.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图1是三个边长为2的正方形小方格,反比例函数y=
kx
经过正方形格点D,与小方格交于点E、点F,直线EF的解析式为y=mx+a.如图2所示的△ABC为Rt△,∠B=90°,AB=10厘米,BC=a厘米.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)求一次函数的解析式.
(3)已知点P从点A出发沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动,点Q从点B出发沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动,如果P、Q两点同时出发,几秒种后,△BPQ的面积与是△ABC的面积一半?
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科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•保定二模)(1)如图1所示,△ABC是正三角形,E,D分别是以C为顶点的CB和AC延长线上的点,且BE=CD,连接DB并延长,交AE于F.求∠AFB的度数;
(2)若将(1)中正△ABC改成正四边形ABCM,如图2 所示,E,D分别是以C为顶点的CB和MC延长线上的点,且BE=CD,连接DB并延长,交AE于F.求∠AFB的度数;
(3)若将(2)中正△ABC改成正五边形ABCMN,如图3 所示,其它条件均不变,则∠AFB的度数为
108°
108°

(4)若将(1)中正△ABC改成正n边形ABCM…N,如图4所示,其它条件均不变,根据(1),(2),(3)中所展现的规律用含字母n的代数式表达∠AFB的度数,并说明理由.
(5)若将(2)中正四边形ABCM改成正六边形ABCMKN,其它条件均不变,则∠AFB的度数为
120°
120°

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

(1)阅读证明
①如图1,在△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小,则称点P为△ABC的费马点,此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离.
②如图2,已知点P为等边△ABC外接圆的
BC
上任意一点.求证:PB+PC=PA.
(2)知识迁移
根据(1)的结论,我们有如下探寻△ABC(其中∠A,∠B,∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法:
第一步:如图3,在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆;
第二步:在
BC
上取一点P0,连接P0A,P0B,P0C,P0D.易知P0A+P0B+P0C=P0A+(P0B+P0C)=P0A+
P0D
P0D

第三步:根据(1)①中定义,在图3中找出△ABC的费马点P,线段
AD
AD
的长度即为△ABC的费马距离.
(3)知识应用
已知三村庄A,B,C构成了如图4所示的△ABC(其中∠A,∠B,∠C均小于120°),现选取一点P打水井,使水井P到三村庄A,B,C所铺设的输水管总长度最小.求输水管总长度的最小值.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图1所示,△ABC,△DEB为等边三角形,点E在线段DC上,AB与DC的交点为F,AE的延长线交BC于点G,AD=2DB

(1)求证:AD=CE;
(2)求证:AE⊥DC;
(3)以点E为坐标原点,DC、EA所在直线分别作x轴、y轴建立直角坐标系,如图2所示,且有A(0,3
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),D(-3,0),设△ADF的面积为S1,△ECG的面积为S2,试判断式子S2-S1>1是否成立?请说明理由.

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