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    6．（1）方法回顾
    在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：
    第一步添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE （D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF=DE，连接CF；
    第二步证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC．

    （2）问题解决
    如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的长．
    （3）拓展研究
    如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=3，DF=2$\sqrt{2}$，∠GEF=90°，求GF的长．

    分析 （1）延长GE、FD交于点H，可证得△AEG≌△DEH，结合条件可证明EF垂直平分GH，可得GF=FH，可求得GF的长；
    （2）过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，可证明△AEG≌△DEH，结合条件可得到△HPD为等腰直角三角形，可求得PF的长，在Rt△HFP中，可求得HF，则可求得GF的长．

    解答 解：
    （1）如图2，延长GE、FD交于点H，

    ∵E为AD中点，
    ∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，
    在△AEG和△DEH中
    $\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠HDE}\\{EA=ED}\\{∠AEG=∠HED}\end{array}\right.$
    ∴△AEG≌△DEH（ASA），
    ∴AG=HD=2，EG=EH，
    ∵∠GEF=90°，
    ∴EF垂直平分GH，
    ∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；
    （2）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，

    同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，
    ∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=3，
    ∵∠ADC=120°，
    ∴∠HDF=360°-105°-120°=135°，
    ∴∠HDP=45°，
    ∴△PDH为等腰直角三角形，
    ∴PD=PH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
    ∴PF=PD+DF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2$\sqrt{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
    在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，PF=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
    ∴HF=$\sqrt{H{P}^{2}+F{P}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}\sqrt{2}）^{2}+（\frac{7}{2}\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{29}$，
    ∴GF=$\sqrt{29}$．

    点评 本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等．在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中构造三角形全等，巧妙利用好105°和120°角是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

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