数学课上.李老师先让同学们了解了以下知识:已知:等边△ABC.E为线段AB上一点.D为线段CB延长线上一点.ED=EC.确定AE与BD大小关系．然后出示了如下题目．小敏与同桌小聪讨论后.进行了如下解答:(1)特殊情况.探索结论.当点E为AB的中点时.如图1.确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论:AE DB．(2)特例启发.解答题目.当E为线段AB上任意一点.其余条� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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数学课上，李老师先让同学们了解了以下知识：
已知：等边△ABC，E为线段AB上一点，D为线段CB延长线上一点，ED=EC，确定AE与BD大小关系．
然后出示了如下题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论，当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE

DB．（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）特例启发，解答题目，当E为线段AB上任意一点，其余条件不变，如图2，确定线段AE与DB的大小关系．
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE

DB（填“＞”，“＜”或“=”）．并说明理由．

（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，请直接写出
CD的长．

考点：等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠EDB=∠BCE=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由三角形相似利用比例关系求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE=30°，BE=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠BCE=30°，
∵∠ABD=120°，
∴∠DEB=30°，
∴DB=EB，
∴AE=DB，
故答案为：=．
（2）AE=DB．
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．

∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°．
∴△AEF是等边三角形，AE=EF=AF．
∴BE=CF．
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠D．
又∵∠ECF=60°-∠ECD，∠DEB=∠EBC-∠D=60°-∠D，
∴∠ECF=∠DEB．
在△BDE与△FEC中，

BE=CF

∠ECF=∠DEB

ED=EC

∴△BDE≌△FEC（SAS），
∴BD=EF=AE．
∴AE=DB．
故答案为：=．
（3）解：CD=1或3，
分为两种情况：①如图3

过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=

BC=

，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴

，
∴

2-1

，
∴BN=

，
CN=1+

，
∴CD=2CN=3；
②如图4，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EN，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=

BC=

，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴

，
∴

，
∴MN=1，
∴CN=1-

，
∴CD=2CN=1，
综上所述CD=3或1．

点评：本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，第（3）题是难点，解题的关键是确定出有2种情况，求出每种情况的CD值．

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