Question

14．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3，现将△ABC绕B逆时针旋转一定角度，点C′恰好落在边BC上的高所在的直线上，则阴影部分的面积为（　　）

• A． π
• B． $\frac{3π}{2}$
• C． $\frac{5π}{2}$
• D． 3π

Answer 1

分析 过点C′作C′E⊥BC于点E，证明C′、A、E在一条直线上，求出∠A′BA=∠C′BC=60°，BC=3$\sqrt{2}$，再根据S_阴影=S_扇形C′BC+S_△C′A′B-S_扇形A′BA-S_△ABC，即可解答．

解答 解：如图，过点C′作C′E⊥BC于点E，

∵点C′恰好落在边BC上的高所在的直线上，AB=AC，
∴C′、A、E在一条直线上，
∴BE═EC=$\frac{1}{2}$BC，
∵BC=BC′，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC′，
∵∠BEC′=90°，
∴∠BC′E=30°，
∴∠C′BE=60°，
∵AB=AC=3，∠A=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
∵△C′A′B≌△CAB，
∴∠A′BC′=∠ABC=45°，
∴∠A′BA=∠C′BC=60°，
∴S_阴影=S_扇形C′BC+S_△C′A′B-S_扇形A′BA-S_△ABC=$\frac{60π•（3\sqrt{2}）^{2}}{360}+\frac{1}{2}×3×3-\frac{60π•{3}^{2}}{360}-\frac{1}{2}×3×3$=$\frac{3}{2}π$．
故选：B．

点评 本题考查了扇形的面积计算及旋转的性质，利用旋转的性质得出Rt△AB'B'≌Rt△ACB是解答本题的关键，注意掌握不规则图形的面积计算．