Question

13．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）点M在直线x=3上，求使MN+MD的值最小时的M点坐标；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b，c的值，从而得到抛物线的解析式，设直线AC的解析式为y=kx+b．将点A和点C的坐标代入可求得k、b的值，从而得到直线AC的解析式；
（2）过点N与直线x=3的对称点N′，连接DN′，交直线x=3与点M．先求得点N的坐标，然后可得到点N′的坐标，接下来求得DN′的解析式，然后将x=3代入直线DN′的解析式可求得点M的纵坐标
（3）当EF=BD时，四边形EFDB为平行四边形．故此EF=BD=2．设点E的坐标为（a，a+1），则点F的坐标为（a，-a²+2a+3）．于是可求得EF的长与a的函数关系式，最后依据EF=2列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可得到点E的坐标．

解答 解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，解得：b=2，c=3．
∴抛物线的解析式为y═-x²+2x+3．
设直线AC的解析式为y=kx+b．
∵将点A和点C的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，解得k=1，b=1．
∴直线AC的解析式为y=x+1．
（2）如图1所示，过点N与直线x=3的对称点N′，连接DN′，交直线x=3与点M．

∵当x=0时y═3，
∴N（0，3）．
∵点N与点N′关于x=3对称，
∴N′（6，3）．
∵y═-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）．
设DN的解析式为y=kx+b．
将点N′与点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=3}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，解得：k=-$\frac{1}{5}$，b=$\frac{21}{5}$．
∴直线DN′的解析式为y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{21}{5}$．
当x=3时，y=$-\frac{3}{5}$+$\frac{21}{5}$=$\frac{18}{5}$．
∴点M的坐标为（3，$\frac{18}{5}$）．
（3）如图2所示：

∵EF∥BD，
∴当EF=BD时，四边形EFDB为平行四边形．
∵当x=1时，y=x+1=1+1=2，
∴B（1，2）．
∴EF=BD=2．
设点E的坐标为（a，a+1），则点F的坐标为（a，-a²+2a+3）．
∴EF=|（-a²+2a+3）-（a+1）|=2．
∴a²-a=0或a²-a-4=0．
解得：a=0或a=1（舍去）或a=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或a=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$．
∴点E的坐标为（0，1）或（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、轴对称路径最短、平行四边形的判定定理，明确点点D、M、N′在一条直线上时，MN+DM有最小值是解答问题（2）的关键，求得EF的长与a的函数关系式是解答问题（3）的关键．