Question

已知，正方形ABCD的边长为4，点E在直线CD上，CE=2，点P在边AC上，且PB⊥PE，则PC的长为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：过点P作PF⊥BC于F，作PG⊥CD于G，判断出四边形PFCG是正方形，根据正方形的性质可得PF=PG，∠FPG=90°，再根据同角的余角相等求出∠BPF=∠EPG，然后利用“角边角”证明△BPF和△EPG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=EG，设FC=x，表示出BF，再CG列出方程求解得到FC，然后根据正方形的对角线等于边长的

2

倍计算即可得解．

解答：解：如图，过点P作PF⊥BC于F，作PG⊥CD于G，
∵点P在边AC上，
∴四边形PFCG是正方形，
∴PF=PG，∠FPG=90°，
∴∠EPG+∠EPF=90°，
∵PB⊥PE，
∴∠BPF+∠PF=90°，
∴∠BPF=∠EPG，
在△BPF和△EPG中，

∠BPF=∠EPG PF=PG ∠PFB=∠PGE

，
∴△BPF≌△EPG（ASA），
∴BF=EG，
设FC=x，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴BF=4-x，
∵CE=2，
∴CG=2+（4-x）=x，
解得x=3，
∴FC=

2

FC=3

2

．
故答案为：3

2

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于作出辅助线构造成全等三角形并根据CG的长度列出方程．