Question

20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴负半轴相交于点A，与y轴正半轴相交于点B，△AOB的面积为18，且k值是方程k²+k-2=0的一个根．

（1）求一次函数的解析式；
（2）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正半轴运动，点P出发的同时，动点Q从点A出发，以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿射线AB运动，连接BP、PQ，设点P的运动时间为t，△BPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设PQ与BO交点为点D，过点A作BP的垂线，垂足为点G，与PQ相交于点E，与BO相交于点F，当PD=2EF时，求线段FG的长．

Answer 1

分析 （1）由k²+k-2=0解得k=1或-2（舍弃），推出一次函数的解析式为y=x+b，推出A（-b，0），B（0，b），由题意$\frac{1}{2}$b²=18，求出b即可；
（2）分两种情形求解①如图1中，当0＜t≤6时，②如图2中，当t＞6时，即可；
（3）分两种情形求解①如图3中，作QH⊥OA于H交AG于K．连接FQ，DK，只要证明四边形QFDK是矩形以及△BFG∽△BPO，可得$\frac{FG}{OP}$=$\frac{BF}{PB}$，由此即可解决问题；②如图4中，作QH⊥OA于H交AG于K．连接FQ，DK，同法可知PD=2DQ，解法类似；

解答 解：（1）由k²+k-2=0解得k=1或-2（舍弃），
∴一次函数的解析式为y=x+b，
∴A（-b，0），B（0，b），
由题意$\frac{1}{2}$b²=18，
∵b＞0，
∴b=6，
∴一次函数的解析式为y=x+6．

（2）①如图1中，当0＜t≤6时，

S=S_△BAP-S_△PQA=$\frac{1}{2}$（6+t）•6-$\frac{1}{2}$（6+t）•t=-$\frac{1}{2}$t²+18，
②如图2中，当t＞6时，

S=S_△PQA-S_△PAB=$\frac{1}{2}$•（6+t）•t-$\frac{1}{2}$（6+t）•6=$\frac{1}{2}$t²-18．

（3）①如图3中，作QH⊥OA于H交AG于K．连接FQ，DK，

由题意AH=QH=OP=t，
易证△PQH≌△AFO，△POD≌△AKH，
∴OF=HQ，KH=OD，
∴QK=DF，
易证四边形QFDK是矩形，
∴FK=DQ=2EF，
∵PD=2EF，
∴PD=DQ，
∵OD∥QH，
∴OH=OP=t，
∴2t=6，
∴t=3，
∵△BFG∽△BPO，
∴$\frac{FG}{OP}$=$\frac{BF}{PB}$，
∴$\frac{FG}{3}$=$\frac{3}{3\sqrt{5}}$，
∴FG=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
②如图4中，作QH⊥OA于H交AG于K．连接FQ，DK，同法可知PD=2DQ，


∵QH∥OD，
∴HO=HP，
∵AH=OP=t，
∴OA=PH=OH=6，
∴t=12，
∵△BFG∽△BPO，
∴$\frac{FG}{OP}$=$\frac{BF}{PB}$，
$\frac{FG}{12}$=$\frac{6}{6\sqrt{5}}$，
∴FG=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
综上所述，FG的值为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$或$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查一次函数综合题、动点问题、相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用方法求三角形面积，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程，属于中考压轴题．