Question

如图，一次函数y=-

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2

x+2分别交y轴、x 轴于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）首先求出一次函数与坐标轴交点坐标，进而带入二次函数解析式得出b，c的值即可；
（2）根据作垂直x轴的直线x=t，得出M，N的坐标，进而根据坐标性质得出即可．

解答：解：（1）∵一次函数y=-

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2

x+2分别交y轴、x 轴于A、B两点，
∴x=0时，y=2，y=0时，x=4，
∴A（0，2），B（4，0），
将x=0，y=2代入y=-x²+bx+c得c=2，
将x=4，y=0，c=2代入y=-x²+bx+c，
得到b=

7

2

，
∴y=-x²+

7

2

x+2；

（2）∵作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，
∴由题意，易得M（t，-

1

2

t+2），N（t，-t²+

7

2

t+2），
从而得到MN=-t²+

7

2

t+2-（-

1

2

t+2）=-t²+4t （0＜t＜4），
当t=-

b

2a

=2时，MN有最大值为：

4ac-b2

4a

=4．

点评：此题主要考查了一次函数与二次函数的综合应用，根据已知得出M，N的坐标是解题关键．