Question

20．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，E，F分别在CB，DC的延长线上，且∠EAF=60°，∠EAB=15°，则S_△ACF=6-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据菱形的性质得出AB=AD=DC=BC，∠D=∠ABC=60°，AD∥BC，∠DAB=∠DCB，∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠DAB，求出AB=AD=AC，求出△DAF≌△CAE，求出△ACF的面积=△ABE的面积，求出△AEB的面积即可．

解答 解：
过A作AM⊥BC于M，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=DC=BC，∠D=∠ABC=60°，AD∥BC，∠DAB=∠DCB，∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠DAB=∠DCB=180°-60°=120°，
∴∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠DAB=60°，∠ACB=$\frac{1}{2}$∠DCB=60°，
∴△ACB、△ACD都是等边三角形，
∴AC=AB=AD=4，
∵AM=AC×sn60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，CM=AC×cos60°=2，
∠CAM=180°-90°-60°=30°，∠BAM=180°-60°-90°=30°，
∵∠EAB=15°，
∴∠EAM=15°+30°=45°，
∴AM=EM=2$\sqrt{3}$，
即CE=2+2$\sqrt{3}$，EB=2+2$\sqrt{3}$-4=2$\sqrt{3}$-4，
∴S_△EAB=$\frac{1}{2}×BE×AM$=$\frac{1}{2}×（2\sqrt{3}-2）×2\sqrt{3}$=6-2$\sqrt{3}$，
在△ACE和△DAF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ACB=60°}\\{AD=AC}\\{∠DAF=∠CAE}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△DAF，
∴S_ACE=S_△DAF，
又∵S_△ACB=S_△ACD，
∴S_△ACF=S_△AEB=6-2$\sqrt{3}$，
故答案为：6-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，菱形的性质等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．