如图,已知矩形ABCD,AB=,BC=3,在BC上取两点E、F(E在F左边),以EF为边作等边三角形PEF,使顶点P在AD上,PE、PF分别交AC于点G、H.
1.求△PEF的边长;
2.在不添加辅助线的情况下,从图中找出一个除△PEF外的等腰三角形,并说明理由
3.若△PEF的边EF在线段BC上移动.试猜想:PH与BE有何数量关系?并证明你猜想的结论.
1.过P作PQ⊥BC于Q(如图1)
矩形ABCD,∴∠B=90°,即AB⊥BC,
又AD∥BC,∴PQ=AB=
∵△PEF是等边三角形,∴∠PFQ=60°
在Rt△PQF中,QF:PQ:PF=1::2
∴△PEF的边长为2. ……………………4分
2.△APH是等腰三角形。理由如下:
∵AD∥BC,∠PFQ=60°,∴∠FPD=60°
在Rt△ADC中,AD=,DC=3,∴由勾股定理得AC=2,
∴AD=AC,∴∠CAD=30°
∵AD∥BC,∠PFQ=60°,∴∠FPD=60°,
∴∠PHA=30°=∠CAD,∴△APH是等腰三角形. ……4分
3.PH-BE=1,理由如下:
作ER⊥AD于R(如图2)
Rt△PER中,∠RPE=60°,∴PR=PE=1,∴PH-BE= PA-BE=PR=1。 …………2分
解析:略
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