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已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线 $数学公式$ 经过点A和点C，动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍．
（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；
（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线y=kx-3过点A（4，0），
∴0=4k-3，解得k= $\text{[math]}$ ．
∴直线的解析式为y= $\text{[math]}$ x-3．
由直线y= $\text{[math]}$ x-3与y轴交于点C，可知C（0，-3）．
∵抛物线 $\text{[math]}$ 经过点A（4，0）和点C，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得m= $\text{[math]}$ ．
∴抛物线解析式为 $\text{[math]}$ ．

（2）对于抛物线 $\text{[math]}$ ，
令y=0，则 $\text{[math]}$ ，
解得x₁=1，x₂=4．
∴B（1，0）．

∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t．
①若∠Q₁P₁A=90°，则P₁Q₁∥OC（如图1），
∴△AP₁Q₁∽△AOC．
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ；
②若∠P₂Q₂A=90°，
∵∠P₂AQ₂=∠OAC，
∴△AP₂Q₂∽△AOC．
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
解得t= $\text{[math]}$ ；
③若∠QAP=90°，此种情况不存在．
综上所述，当t的值为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，△PQA是直角三角形．

（3）答：存在．
过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）．

∴S_△ADF= $\text{[math]}$ DF•AE，S_△CDF= $\text{[math]}$ DF•OE．
∴S_△ACD=S_△ADF+S_△CDF
= $\text{[math]}$ DF•AE+ $\text{[math]}$ DF•OE
= $\text{[math]}$ DF×（AE+OE）
= $\text{[math]}$ ×（DE+EF）×4
= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）×4
= $\text{[math]}$ ．
∴S_△ACD= $\text{[math]}$ （0＜x＜4）．
又∵0＜2＜4且二次项系数 $\text{[math]}$ ，
∴当x=2时，S_△ACD的面积最大．
而当x=2时，y= $\text{[math]}$ ．
∴满足条件的D点坐标为D（2， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）将A点坐标代入直线的解析式中，即可求得k的值，从而确定该直线的解析式；将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，可求得m、n的值，从而确定抛物线的解析式．
（2）根据（1）得到的抛物线解析式，可求得点B的坐标，根据P、Q的运动速度，可用t表示出BP、CQ的长，进而可得到AQ、AP的长，然后分三种情况讨论：
①∠APQ=90°，此时PQ∥OC，可得到△APQ∽△AOC，根据相似三角形所得比例线段即可求得t的值；
②∠AQP=90°，亦可证得△APQ∽△ACO，同①的方法可求得此时t的值；
③∠PAQ=90°，显然这种情况是不成立的．
（3）过D作y轴的平行线，交直线AC于F，设出点D的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式可表示出D、F的纵坐标，进而可求得DF的长，以DF为底，A点横坐标的绝对值为高即可得到△ADC的面积表达式（或由△ADF、△CDF的面积和求得），由此可求出关于△ADC的面积和D点横坐标的函数关系，根据函数的性质即可求得△ADC的面积最大值及对应的D点坐标．
点评：此题考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，（3）题中，将图形面积的最大（小）值问题转化为二次函数的最值问题是此类题常用的解法．

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12、已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则直线y=bx+k经过（　　）

A、第一、三、四象限

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D、第二、三、四象限

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（2012•义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=-

x2+

交于点A（3，6）．
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？