Question

【题目】二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的图象与x轴有两个公共点．

（1）求m的取值范围；

（2）若m取满足条件的最小的整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤24，求n的值．

Answer 1

【答案】（1）m＞﹣且m≠0；（2）n的值为﹣4．

【解析】

（1）由抛物线与x轴有两个交点，可得出关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣5＝0有两个不相等的实数根，利用根的判别式△＞0结合二次项系数非零，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；

（2）取（1）中m的最小整数，代入y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣5中即可求得解析式，进而求得抛物线的对称轴为x＝，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤24，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的值．

解：（1）∵二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的图象与x轴有两个公共点，

∴关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣5＝0有两个不相等的实数根，

∴，

解得：m＞﹣且m≠0．

（2）∵m＞﹣且m≠0，m取其内的最小整数，

∴m＝1，

∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4．

∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝

∵a＝1＞0，

∴当x≤时，y随x的增大而减小．

又∵n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤24，

∴n2﹣3n﹣4＝24，解得：n＝﹣4或n＝7（舍去），

故n的值为：﹣4．