Question

6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y₁=$\frac{k_1}{x}$（x＞0）的图象与y₂=$\frac{k_2}{x}$（x＞0）的图象关于x轴对称，Rt△AOB的顶点A，B分别在y₁=$\frac{k_1}{x}$（x＞0）和y₂=$\frac{k_2}{x}$（x＞0）的图象上．若OB=AB，点B的纵坐标为-2，则点A的坐标为（1+$\sqrt{5}$，3-$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出△OEB≌△BFA（AAS），由反比例函数y₁=$\frac{k_1}{x}$（x＞0）的图象与y₂=$\frac{k_2}{x}$（x＞0）的图象关于x轴对称，进而得出k₁+k₂=0，表示出A，B点坐标列方程即可求出结论．

解答 解：过点B作x轴的平行线EB，过点A作AF⊥EB的延长线于点F，
∵等腰Rt△OAB，∠OBA=90°，
∴∠OBE+∠ABF=90°，∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠OBE=∠BAF，
在△OEB和△BFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEB=∠BFA}\\{∠EBO=∠FAB}\\{OB=AB}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△BFA（AAS），
∴EO=BF=2，BE=AF，
∵设AD=y，则OE=BF=2-y，EF=2-y+2=4-y，
故A（4-y，y），B（2，y-2），
∵反比例函数y₁=$\frac{k_1}{x}$（x＞0）的图象与反比例函数y₂=$\frac{k_2}{x}$（x＞0）的图象关于x轴对称，
∴k₁+k₂=0，
即（4-y）y+2（y-2）=0，
解得：y₁=3+$\sqrt{5}$（不合题意舍去），y₂=3-$\sqrt{5}$，
则点A的纵坐标为：3-$\sqrt{5}$，
∵EF=4-y=1+$\sqrt{5}$，
∴A（1+$\sqrt{5}$，3-$\sqrt{5}$）．
故答案为：（1+$\sqrt{5}$，3-$\sqrt{5}$）．

点评 此题主要考查了反比例函数综合以及全等三角形的判定与性质和关于x轴对称点的性质等知识，正确表示出A，B点坐标是解题关键．