Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与x轴交于点，与轴交于点．

（1）求直线的解析式；

（2）在坐标系中能否找到点，使得且?如果能，求出满足条件的点的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3，3）或（1，-1）

【解析】

（1）由待定系数法将点A，B的坐标代入即可求得；

（2）根据点P在线段AB的垂直平分线上，且点P到AB中点的距离等于AB的一半进行求解，构造全等三角形得到点P的坐标.

解：（1）∵直线AB经过点A（4，0），B（0，2）

代入y=kx+b中，得，

解得：，

∴AB的解析式为：；

（2）如图，点P在AB的垂直平分线上，且∠APB=90°，

可知△APB为等腰直角三角形，

过点P作y轴的垂线于点M，过A作MP的垂线于点N，

∵AB==，

∴BP=AP==，

∵∠MPB+∠APN=90°，∠APN+∠PAN=90°，

∴∠BPM=∠PAN，

在△PBM和△APN中，

，

∴△PBM≌△APN（AAS）

∴MB=PN，MP=AN，

设MB=x，则AN=MP=x+2，

∴在直角△MBP中，

MB2+MP2=BP2，

即，

解得：x=1，

∴MP=AN=3，

点P的坐标为（3，3），

同理：如图，当点P在直线AB下方时，

有△BMP≌△PNA（AAS），

设MP为y，则OM=AN=y，BM=4-y，

在直角△BMP中，

BM2+MP2=BP2，

即（2+y）2+y2=，

解得：y=1，

∴MP=1=OM，

即点P坐标为（1，-1）

综上：能够找到点P满足条件，点P坐标为（3，3）或（1，-1）.